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角平分线又称为对称轴，是把一个角分成两个相等的部分的直线。它有三个性质：
1. 它通过角的顶点；
2. 它与角的两边都垂直；
3. 它把一个角划分为两个相等的直角。
垂直平分线是与直角三角形的斜边垂直并且通过直角三角形内部的直线。它也有三个性质：
1. 它通过直角三角形内部；
2. 它与直角三角形的斜边垂直；
3. 它将直角三角形分成两个相等的部分。
角平分线和垂直平分线在几何学中非常重要，它们可以用来解许多问题，比如计算面积、判断三角形是否相似等。此外，它们也经常出现在实际生活中，比如建筑领域中的墙壁设计等。通过掌握角平分线和垂直平分线的性质与应用，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
(2)
∠BOD=∠COH
(3)
∠AOB=90°+1/2∠ACB
∠AOC=90+1/2∠ABC
延长EC，截取CF=DC，连接DF
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACD=60°
∵CE是∠ACB外角的平分线
∴∠ACE=120°/2=60°
∴∠DCF=180°-∠ACD-∠ACE=180°-60°-60=60°
∵CF=DC
∴△CDF是等边三角形（两腰相等，顶角60°）
∴DC=DF，∠CDF=∠CFD=∠EFD=60°
∵∠ADE=∠CDF=60°
∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC
即∠ADC=∠EDF
在△ACD和△EDF中
DC=DF，∠ADC=∠EDF，∠ACD=∠EFD=60°
∴△ACD≌△EDF(ASA)
∴AD=DE
（2）
∵DF‖AC
AF＝DC
∠BFD＝∠BDF＝∠B＝60°
∠AFD＝180°－60°＝120°
∵∠ACB＝60，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠ACE＝1/2×(180°-∠ACB)=60°
∠DCE=120°
∵∠FAD=∠BFD-∠ADF=60-∠ADF
∵∠CDE=180°-∠FDB-∠ADE-∠ADF=180°-60°-60°-∠ADF=60°-∠ADF
∴∠FAD=∠CDE
∠AFD＝∠DCE
AF＝DC
△AFD≌△DCE
AD=DE
2、
做DF‖AC，交BA延长于F
AF＝DC，∠CAD＝∠ADF
∠F＝60°
∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠DCE＝∠ACE＝60°
∠F＝∠DCE
∵∠ACE＝60°，∠ADE＝60°
∴∠CAD＝∠DEC＝∠ADF
△AFD≌△DCE
AD=DE
3、
做DF‖AC，交AB延长于F
∠F＝60°
∠DBF＝∠ABC＝60°
△DBF是等边三角形，DB＝BF
AF＝AB+BF
DC＝BC+DB
∴AF＝DC
∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠DCE＝60°
∠F＝∠DCE
∵∠EDC＝∠ADE－∠ADC＝60°－∠ADC
∵∠DAF＝∠ABC－∠ADC＝60°－∠ADC
∴∠EDC＝∠DAF
△AFD≌△DCE
AD=DE
[例1]如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD＝4cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC＝CD＋DB，CD＝4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE＝CD＝4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB＝AC＋CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB＝AE＋BE，所以需证AC＝AE，CD＝BE．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C＝90°，DE⊥AB．
∴DE＝CD＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵AC＝BC．∴∠B＝∠BAC(等边对等角)．
∵∠C＝90°，
∴∠B＝ ×90°＝45°．
∴∠BDE＝90°－45°＝45°．
∴BE＝DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD＝ ＝ cm(勾股定理)，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋ )cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC＝AE．
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．
[例2]已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC＝OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)∵P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP＝OP，PC＝PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)．
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为2004，BC的边长为704，求△ADE的周长．
[过程]求△ADE的周长，即需求出AD＋DE＋AE的和，根据题意，要整体转化方可求出．首先O是△ABC中∠BAC和∠ABC的角平分线的交点，则O必在∠ACB的角平分线上，即OC平分∠ACB．而DE∥BC，恰好能构造出等腰三角形ODB和等腰三角形OEC，则DB＝OD，EC＝OE，则AD＋DE＋AE＝(AD＋DB)＋(CE＋AE)＝AB＋AC．此题便可获解．
[结果]连接OC．
∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点，
∴OC平分∠ACB(三角形三条角平分线交于一点)．
∴∠OCE＝∠OCB．
又∵DE∥BC，
∴∠EOC＝∠OCB(两直线平行，内错角相等)．
∴∠OCE＝∠EOC
∴OE＝EC(等角对等边)．
同理可证OD＝DB．
∴△ADE的周长为
AD＋DO＋OE＋AE
＝AD＋DB＋EC＋AE
＝AB＋AC
＝2004－704
＝1300．
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